Flug-Lotse · Lagebeziehung zweier Geraden

Flugbahnen

Lagebeziehung

🔍 selbst herausfinden

Abstand A ↔ B –

✈ A · Parameter t t = 0

✈ B · Parameter s s = 0

Ziehen auf ganze Zahlen einrasten

Forschungsheft

Lagebeziehung zweier Geraden im Raum

—

Mission: Zwei Flugzeuge fliegen geradlinig durch den Raum – jedes auf einer Geraden. Untersuche, wie ihre Flugbahnen zueinander liegen. Stelle die Bahnen über das Steuerpult (Werte eintippen) oder durch Ziehen der Punkte/Pfeile in der 3D-Szene ein. Alles wird automatisch gespeichert.

Steuerpult · Flugbahnen einstellen

g: →x =

+ t·

h: →x =

+ s·

Aktuelle Lage: –

Kapitel 1: Zwei Flugbahnen

Aufgabe 1 · wird freigeschaltet

1 Konfrontation

Erkunde die Szene: drehe sie mit der Maus, ziehe an den Punkten und Pfeilspitzen und bewege die Regler t und s. Du siehst zwei Flugbahnen – die Geraden g und h.

Beschreibe mit eigenen Worten, wie die beiden Bahnen gerade zueinander liegen. Und überlege weiter: Welche grundsätzlich verschiedenen Lagen könnten zwei Geraden im Raum überhaupt einnehmen? Sammle deine Vermutungen.

Halte zuerst eine kurze Vermutung fest.

Kapitel 2: Parallel

Aufgabe 2 · schließe zuerst Aufgabe 1 ab

2 Auf Parallelkurs

Versuche, die beiden Flugbahnen selbst so einzustellen, dass sie echt parallel verlaufen: gleiche Richtung, aber nie ein gemeinsamer Punkt. Ändere Werte im Steuerpult oder ziehe Punkte und Pfeile in der Szene. (Links unten kannst du dir jetzt auch ein Beispiel laden – probier es aber ruhig zuerst selbst.)

Deine Entdeckung: Was fällt dir an den Richtungsvektoren →u und →v auf, wenn die Bahnen parallel sind? Wie hängen sie zusammen?

💡 Tipp anzeigen

Probiere für →v ein Vielfaches von →u (z. B. doppelt so lang) und achte darauf, dass die Stützpunkte nicht aufeinander liegen.

Die Einstellung erfolgt nach Aufgabe 1 bereits automatisch. Dieser Knopf kann sie jederzeit wiederherstellen.

Stelle parallele Bahnen her und beschreibe, wie →u und →v zusammenhängen.

Kapitel 3: Schneidend

Aufgabe 3 · schließe zuerst Aufgabe 2 ab

3 Die Bahnen kreuzen sich

Stelle die Bahnen so ein, dass sich die beiden Flugzeuge treffen könnten – die Bahnen also genau einen gemeinsamen Punkt haben. Taucht ein grüner Punkt S auf, hast du ihn erzeugt.

Lies den Schnittpunkt S ab (oder fliege ein Flugzeug genau hinein):

S =

Und ohne Bild? Wie könnte man S nur aus den beiden Geradengleichungen berechnen? Notiere deine Idee:

Erzeuge einen Schnittpunkt, lies S ab und notiere deine Rechenidee.

Kapitel 4: Identisch

Aufgabe 4 · schließe zuerst Aufgabe 3 ab

4 Dieselbe Gerade

Kann es sein, dass beide Flugzeuge auf derselben Geraden fliegen – obwohl ihre Gleichungen verschieden aussehen? Stelle so eine Situation her.

Beschreibe: Woran erkennt man, dass zwei verschieden aussehende Gleichungen trotzdem dieselbe Gerade meinen?

Wie viele gemeinsame Punkte haben g und h dann?

💡 Tipp anzeigen

→v parallel zu →u und der Stützpunkt von h liegt selbst auf g.

Mache die Bahnen identisch, beschreibe das Kennzeichen und beantworte die Frage.

Kapitel 5: Windschief

Aufgabe 5 · schließe zuerst Aufgabe 4 ab

5 Stoßen sie zusammen?

In der Luftfahrt entscheidend: Zwei Bahnen können sich von oben gesehen kreuzen – und die Flugzeuge trotzdem in verschiedener Höhe aneinander vorbeifliegen. Solche Geraden heißen windschief.

Stelle so eine Lage her. Die rote Strecke zeigt dir den kleinsten Abstand der beiden Bahnen.

Können zwei Flugzeuge auf windschiefen Bahnen jemals zusammenstoßen? Triff eine Wahl und begründe:

💡 Tipp anzeigen

Gehe von einer schneidenden Lage aus und verändere bei einem Stützpunkt nur die Höhe x₃ ein wenig.

Erzeuge eine windschiefe Lage, wähle und begründe deine Antwort.

Sicherung

Sicherung · schließe zuerst Aufgabe 5 ab

★ Gemeinsam an der Tafel

Fassen wir zusammen: Wie entscheidet man rechnerisch, wie zwei Geraden im Raum zueinander liegen?

Decke zuerst den Merkkasten auf.

Kapitel 6: Training (ohne Tool)

Aufgabe 6 · folgt nach der Sicherung

6 Lage bestimmen

Bestimme rechnerisch (mit dem Entscheidungsbaum) die Lagebeziehung. Du darfst zur Kontrolle die Werte ins Steuerpult eintippen.

a) g: →x = (1|0|2) + t·(1|2|1)
h: →x = (0|1|0) + s·(2|4|2)

b) g: →x = (2|1|0) + t·(1|−1|2)
h: →x = (0|3|1) + s·(−2|1|1)

c) g: →x = (1|1|1) + t·(2|0|1)
h: →x = (5|1|4) + s·(−2|0|−2)

💥 Kollision! Beide Flugzeuge sind am selben Punkt.

Ziehe die Punkte & Pfeilspitzen · drehe mit der Maus