Solarmodul-Erkunder · Parameterform zu Koordinatenform

Effizienz 0%

P =

→u =

→v =

→n =

Forschungsheft

Von der Parameterform zur Koordinatenform

—

Bearbeite die Aufgaben der Reihe nach – jede neue Aufgabe wird erst freigeschaltet, wenn die vorherige abgeschlossen ist. Kommst du nicht weiter, öffne die 💡-Tipps. Alles wird automatisch gespeichert.

Kapitel 1: Die Parameterform

Aufgabe 1 · wird freigeschaltet

1 Konfrontation

Das Solarmodul befindet sich in seiner Startposition; die zugehörige Ebene ist in Parameterform gegeben.

Benenne die Bestandteile, mit denen die Parameterform diese Ebene festlegt, und beschreibe kurz, welche Rolle jeder Bestandteil dabei übernimmt.

Tipp

Achte auf den festen Punkt (weiß) und die beiden Richtungsvektoren →u und →v, die die Ebene aufspannen. Wie viele Bestandteile braucht man, und wie heißen sie?

Halte zuerst eine kurze Antwort fest, um fortzufahren.

Kapitel 2: Der besondere Vektor

Aufgabe 2 · schließe zuerst Aufgabe 1 ab

2 Die Entdeckung

Das Modul exakt über seine beiden Richtungsvektoren zur Sonne zu kippen, ist mühsam. Eleganter geht es mit einem einzigen besonderen Vektor →n, der senkrecht auf der Modulebene steht.

Greife seine Spitze und richte das Modul damit exakt zur Sonne aus – die Effizienz-Anzeige zeigt, wie gut das gelingt.

Untersuche dabei die Lage von →n zur Modulebene sowie zu den Richtungsvektoren →u und →v und beschreibe deine Beobachtungen.

Tipp

Drehe die 3D-Ansicht. Unter welchem Winkel steht →n auf der Ebene? Und wie steht →n jeweils zu →u und zu →v?

Halte zuerst eine kurze Antwort fest, um fortzufahren.

Aufgabe 3 · schließe zuerst Aufgabe 2 ab

3 Vom Einzelfall zur Regel

Du hast festgestellt: →n steht senkrecht auf →u und auf →v.

In der Modulebene liegen aber noch unendlich viele weitere Richtungsvektoren. Untersuche, wie →n zu einem beliebigen Vektor liegt, der vollständig in der Modulebene verläuft, und begründe deine Aussage.

Tipp 1

Jeder Vektor, der in der Ebene liegt (auch ein „schräger“), lässt sich als Linearkombination von →u und →v schreiben – also als Summe von Vielfachen der beiden.

Tipp 2

Wenn →n auf →u und auf →v senkrecht steht, dann steht es auch auf jeder Linearkombination der beiden senkrecht – also auf jedem Vektor der Ebene.

Halte zuerst eine kurze Antwort fest, um fortzufahren.

Kapitel 3: Die Ebenenbedingung

Aufgabe 4 · schließe zuerst Aufgabe 3 ab

4 Werte ablesen

Bringe das Modul auf 100 % Effizienz, indem du →n exakt zur Sonne ausrichtest, und lies anschließend die Koordinaten von →n ab.

→n =

Tipp

Ziehe die gelbe Spitze, bis die Effizienz-Anzeige oben rechts genau 100 % zeigt und das Modul am Optimum einrastet. Dann erst die Werte ablesen.

Bringe das Modul auf 100 % Effizienz und lies →n ab, um fortzufahren.

Aufgabe 5 · schließe zuerst Aufgabe 4 ab

5 Die Bedingung für jeden Punkt

In der 3D-Ansicht erscheint nun ein frei verschiebbarer grüner Punkt X, den du beliebig auf der Modulebene bewegen kannst. Jede Lage von X liefert zusammen mit dem Punkt P den Verbindungsvektor →x − →p aus den zugehörigen Ortsvektoren – dabei ist →p gerade der Stützvektor (Aufpunkt) aus der Parameterform. Auf diese Weise lassen sich alle Richtungsvektoren der Ebene erfassen.

Formuliere mit deiner Erkenntnis aus Aufgabe 3 eine Gleichung, die genau dann gilt, wenn X in der Ebene liegt. Nutze dazu das Skalarprodukt (∘).

Tipp 1

Der Verbindungsvektor vom Punkt P zum grünen Punkt X ist →x − →p; dabei ist →p der Stützvektor (Aufpunkt). Wie liegt →n zu diesem Vektor?

Tipp 2

Senkrecht bedeutet: Das Skalarprodukt ist null. Es gilt also →n ∘ (→x − →p) = 0.

Stelle zuerst die Bedingung auf, um fortzufahren.

Aufgabe 6 · schließe zuerst Aufgabe 5 ab

6 Die kurze Schreibweise

Deine Bedingung aus Aufgabe 5 gilt für jeden beliebigen Punkt X der Ebene – nicht nur für einen einzigen. Genau das lässt sich kompakt notieren: Die drei Koordinaten von →n werden zu Koeffizienten vor x₁, x₂, x₃, und auf der rechten Seite steht eine feste Zahl d. Diese Darstellung heißt Koordinatenform.

Trage für unser Solarmodul mit →n = (2 | 1 | 2) und dem Stützvektor (Aufpunkt) P(0 | 0 | 4) diese Gleichung ein. Den Wert d erhältst du, indem du die Koordinaten von P für x₁, x₂, x₃ einsetzt.

Tipp 1

Die Koeffizienten stehen schon fest – das sind genau die Koordinaten deines abgelesenen →n = (2 | 1 | 2): 2x₁ + 1x₂ + 2x₃ = d.

Tipp 2

Setze die Koordinaten des Stützvektors (Aufpunkts) P(0 | 0 | 4) ein: d = 2·0 + 1·0 + 2·4. Rechne das aus und schreibe die vollständige Gleichung auf.

Stelle die Gleichung auf, um zur Zwischensicherung zu gelangen.

Kapitel 4: Zwischensicherung

Zwischensicherung · schließe zuerst Aufgabe 6 ab

★ Gemeinsam an der Tafel

Vergleicht eure hergeleiteten Gleichungen. Haltet gemeinsam fest, wie diese kurze Schreibweise aus der Bedingung entsteht und wie sie heißt.

Begriff

Der besondere Vektor →n, der senkrecht auf der Ebene – und damit auf allen Richtungsvektoren der Ebene – steht, heißt Normalenvektor.

Von der Bedingung zur Koordinatenform

1. Die Bedingung „→n senkrecht auf →x − →p“ liefert die Normalenform:

→n ∘ (→x − →p) = 0

→n ∘ →x − →n ∘ →p = 0

→n ∘ →x = →n ∘ →p = d

n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d

Achtung: Die rechte Seite ist nicht automatisch 0. Den Wert d erhält man, indem man einen Punkt der Ebene einsetzt – am einfachsten den Stützvektor (Aufpunkt) →p aus der Parameterform: d = →n ∘ →p.

Für unser Solarmodul mit →n = (2 | 1 | 2) und P(0 | 0 | 4):

d = 2·0 + 1·0 + 2·4 = 8

2x₁ + x₂ + 2x₃ = 8

Und ohne Sonne? — →n rechnerisch bestimmen

Im Modell hat die Sonne die Richtung von →n vorgegeben. Eine gewöhnliche Parameterform hat keine Sonne – also nutzt man, dass →n senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht:

→n ∘ →u = 0 und →n ∘ →v = 0

Wichtig: Das sind nur zwei Gleichungen für drei Unbekannte (n₁, n₂, n₃). Deshalb darfst du eine Koordinate frei wählen – am einfachsten eine kleine, günstige Zahl wie 1 oder −1 – und die beiden anderen daraus berechnen.

✏️

Heute üben wir das bewusst ohne Taschenrechner/CAS: Wer bei den anstehenden Aufgaben die freie Koordinate geschickt wählt, kommt mit einfachem Kopf- bzw. Handrechnen zum Ziel – das stärkt genau die Rechenkompetenz, die man ohne Hilfsmittel braucht.

Zeige zuerst das Ergebnis der Zwischensicherung an.

☀️ 100 % Effizienz! Lies die Werte von →n ab.

Ziehe den grünen Punkt X frei über die Modulebene.

Von der Parameterform zur Koordinatenform

Sicherung freischalten